Question

（2012•许昌一模）已知函数f（x）=lnx-x+ax²．
（I）试确定实数a的取值范围，使得函数f（x）在定义域内是单调函数；
（II）证明：

n

k=2

(

1

k

-ln

1

k

)＞

n-1

2(n+1)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）使得函数f（x）在定义域内是单调函数，则有f′（x）≥0或f′（x）≤0在定义域内恒成立，由此可求a的范围；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）问结论，令a=1，此时f（x）＜0对x∈（0，1）恒成立，由此构造不等式，再令x=

1

k

，对

n

k=2

(

1

k

-ln

1

k

)进行放缩变形即可．

解答：（Ⅰ）解：定义域为（0，+∞）．f′（x）=

1

x

-1+2ax=

2ax2-x+1

x

．
令g（x）=2ax²-x+1，
∵g（0）=1，∴g（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立．即a≥

x-1

2x2

对x∈∈（0，+∞）恒成立．
令h（x）=

x-1

2x2

=-

1

2

(

1

x

)2+

1

2

(

1

x

)=-

1

2

(

1

x

-

1

2

)2+

1

8

．
∴a≥

1

8

，此时f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数．
（Ⅱ）证明：取a=1，由（Ⅰ）知此时f（x）在（0，1）上为单调递增函数．
∵f（1）=0，∴f（x）＜0对x∈（0，1）恒成立，即x-lnx＞x²．
取x=

1

k

，∵

1

k

∈（0，1），∴

1

k

-ln

1

k

＞(

1

k

)2．
∴

n

k=2

(

1

k

-ln

1

k

)＞

n

k=2

(

1

k

)2＞

n

k=2

1

k(k+1)

=

n

k=2

(

1

k

-

1

k+1

)=

1

2

-

1

n+1

=

n-1

2(n+1)

．

点评：本题考查导数的应用，一是研究函数单调性，二是证明不等式，证明不等式的关键是利用条件恰当构造不等式，对能力要求较高．