Question

数列{a_n}中，a₁=1，前n项的和是S_n，且S_n=2a_n-1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=log₂（2a_n），求T_n=b₁+b₂+b₃+••+b_n．

Answer 1

分析：（1）根据递推公式，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=log₂（2a_n）的通项公式，然后根据等比数列的前n项和公式求T_n=b₁+b₂+b₃+L+b_n．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-1，n∈N^*．         ①
∴S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，n∈N^*．         ②
①-②得  a_n=2a_n-2a_n-1，n≥2，n∈N^*． 
即a_n=2a_n-1，n≥2，n∈N^*． 
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1．
（2）∵a_n=2^n-1．
∴b_n=log₂（2a_n）=log₂（2ⁿ）=n，为等差数列，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+••+b_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．

点评：本题主要考查数列的递推公式，以及等差数列和等比数列的通项公式，要求熟练掌握相应的通项公式和前n项和公式，考查学生的计算能力．