Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足2bcosA=

3

(ccosA+acosC)
（1）求A的大小； （2）若a=2，c=2

3

，且b＞c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由2bcosA=

3

(ccosA+acosC)利用正弦定理得2sinBcosA=

3

sin(A+C)=

3

sinB从而可求cosA进一步可求 A
（2）由已知及（1）中的A考虑利用余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA?b²-6b+8=0结合b＞c可求b，然后代入面积公式S=

1

2

bcsinA
（法二）利用正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

可求sinC，进一步可求 C，利用三角形的内角和定理可求 A，然后代入三角形的面积公式可求

解答：解：（1）由2bcosA=

3

(ccosA+acosC)
利用正弦定理得：2sinBcosA=

3

(sinCcosA+sinAcosC)（2分）
即：2sinBcosA=

3

sin(A+C)=

3

sinB（4分）
所以cosA=

3

2

，A=

π

6

（6分）
（2）由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA?b²-6b+8=0，又b＞c得b=4
所以S=

1

2

bcsinA=2

3

（12分）
也可利用正弦定理
（法二）由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

可得，sinC=

csinA

a

=

2 3 × 1 2

2

=

3

2

b＞c可得C为锐角，故 C=60°，B=90°
S=

1

2

ac=

1

2

×2×2

3

=2

3

点评：三角形是研究三角函数的重要载体，在与三角形有关的试题中，正弦定理与余弦定理的应用已经成为高考命题的热点，解决此类问题，要善于抓住三角形边与角之间的关系，要学会将问题转化为三角恒等变形问题来处理．