Question

已知函数f（x）=e^x，过该函数图象上点（1，f（1））的切线为g（x）=kx+b
（Ⅰ）证明：y=f（x）图象上的点总在y=g（x）图象的上方；
（Ⅱ）若e^x≥ax在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，可得g（x）=ex，可以设h（x）=f（x）-g（x）=e^x-ex，对h（x）求导，分析其单调性，进而可得h（x）取最小值h（1）=0，即可得h（x）=f（x）-g（x）≥0，即f（x）≥g（x），由函数的性质，可得证明；
（Ⅱ）当x≠0时，令F（x）=

ex

x

，求导可得F′（x）=

ex(x-1)

x2

，列表分析其单调性，进而分①x＞0，②x＜0，两种情况讨论，再分析③x=0的情况，求出a的取值范围，综合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f（1）=e，则g（x）=kx+b中，k=e，
g（x）过点（1，f（1）），则有e=e+b，则b=0，g（x）=ex，
设h（x）=f（x）-g（x）=e^x-ex，
h′（x）=e^x-e，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
当x＜1时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
当x=1时，h（x）取最小值h（1）=f（1）-g（1）=0，
则有h（x）≥h（1）=0，即f（x）-g（x）≥0，有f（x）≥g（x），
所以y=f（x）图象上的点总在y=g（x）图象的上方；
（Ⅱ）当x≠0时，令F（x）=

ex

x

，
F′（x）=

ex(x-1)

x2

列表可得，

x	（-∞，0）	（0，1）	1	（1，+∞）
F‘（x）	-	-	0	+
F（x）	减	减	e	增

①当x＞0时，F（x）在x=1时有最小值e，

ex

x

≥a，即e^x≥ax恒成立的a的范围是a≤e；
②当x＜0时，F（x）为减函数，
x→0，F（x）→-∞，
F（x）＜0，

ex

x

＜0，

ex

x

≤a，即e^x≥ax恒成立的a的范围是a≥0；
③当x=0时，易得a∈R，
②当x＜0时，F（x）为减函数，
综合①②③，e^x≥ax恒成立的a的范围是[0，e]．

点评：本题考查导数的计算与应用，关键是将导数的性质与函数的性质联系起来，如（Ⅰ）中，要证y=f（x）图象上的点总在y=g（x）图象的上方，只需证明对于x∈R，有f（x）≥g（x）．