Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切.

（Ⅰ）求圆的方程及的值；

（Ⅱ）若直线与圆相交于两点，且，求的值；

（Ⅲ）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）, ；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径求解；（Ⅱ）用坐标表示向量积，再联立直线与圆方程，消元代入向量积求解；（Ⅲ）假设A、P的坐标，根据两点距离公式与建立等式，再根据A、P分别满足直线和圆的方程化简等式，最后根据等式恒成立的条件求解.

（Ⅰ）由于圆与线段相切，所以半径.

即圆的方程为.

又由题与线段相切，

所以线段方程为.即.

故直线的方程为.

由直线和圆相切可得：，

解得或.由于为不同的点，所以.

（Ⅱ）设，，则.

由可得，

，解得.所以.

故.

所以.所以.

故.

（Ⅲ）设.

则，.

若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，

都有为常数,

等价于对圆上任意点恒成立.

即.

整理得.

因为点在直线上，所以.

由于在圆上，所以.

故对任意恒成立.

所以显然，所以.

故，

因为，解得或.

当时，，此时重合，舍去.

当时，，

综上，存在满足条件的定点，此时.