Question

(本小题满分14分)

已知函数.

(Ⅰ)当时，讨论的单调性；

（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使

，求实数取值范围.

Answer 1

本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想，数形结合思想、等价变化思想，以及综合运用知识解读新情境、新问题的能力。

解：（Ⅰ）因为

         所以  

         令     

    （1）当时，    

           所以   当，函数单调递增；

                  当时，，此时，函数单调递增

     （2）当时，由，

          即 ，解得

时，，此时，函数单调递减；

时，，此时，函数单调递增；

时，，此时，函数单调递减

③当时，由于

   时，，此时，函数单调递减；

时，，此时，函数单调递增

      综上所述：

            当时，函数在（0,1）上单调递减；

                       函数在上单调递增；

             当时，函数在上单调递减；

             当时，函数在（0,1）上单调递减；

                            函数在上单调递增；

                            函数在上单调递减，

（Ⅱ）因为，由于（Ⅰ）知，，当时，，

      函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以在    

      （0 , 2）上的最小值为

      由于“对任意，存在，使”等价于

      “在上的最小值不大于在（0 ，2）上的最小值”