Question

【题目】已知函数f（x）=（ax+1）ex﹣（a+1）x﹣1．
（1）求y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若x＞0时，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），

∴f'（0）=0，

因此y=f（x）在（0，f（0））处的切线l的斜率为0，

又f（0）=0，

∴y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=0；

（2）解：当x＞0时，f（x）=（ax+1）ex﹣（a+1）x﹣1＞0恒成立，

令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），则g′（x）=（ax+1+2a）ex，

若a≥0，则g′（x）=（ax+1+2a）ex＞0，g（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1）在（0，+∞）上为增函数，

又g（0）=0，∴g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，

由f（0）=0，∴x＞0时，不等式f（x）＞0恒成立；

若a＜0，当a 时，g′（x）＜0在（0，+∞）上成立，g（x）在（0，+∞）上为减函数，

∵g（0）=0，∴g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上为减函数，

由f（0）=0，∴x＞0时，不等式f（x）＞0不成立；

当 ＜a＜0时，x∈（0， ）时，g′（x）＞0，x∈（ ）时，g′（x）＜0，

g（x）在（0，+∞）上有最大值为g（ ），当x→+∞时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，

∴存在x0∈（ ），使f（x）＜0，即x＞0时，不等式f（x）＞0不恒成立．

综上，a的取值范围为[0，+∞）．

【解析】（1）求出原函数的导函数，得到f'（0）=0，再求出f（0）=0，利用直线方程的点斜式求得y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）ex﹣（a+1），则g′（x）=（ax+1+2a）ex ， 然后对a分类分析，当a≥0，则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，结合g（0）=0，可得g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，再由f（0）=0，可得x＞0时，不等式f（x）＞0恒成立；当a＜0时，由导数分析x＞0时，不等式f（x）＞0不恒成立，由此可得a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．