Question

定义在R上的函数y=f（x）在（-∞，a）上是增函数，且函数y=f（x+a）是偶函数，当x₁＜a，x₂＞a，且丨x₁-a丨＜丨x₂-a丨时，有（　　）

A、f（x₁）＞f（x₂）

B、f（x₁）≥f（x₂）

C、f（x₁）＜f（x₂）

D、f（x₁）≤f（x₂）

Answer 1

分析：根据y=f（x+a）是偶函数，可得f（-x+a）=f（x+a），根据x₁＜a，x₂＞a，丨x₁-a丨＜丨x₂-a丨，可得2a-x₁＜x₂，且2a-x₁＞a，x₂＞a，结合函数的单调性，即可得到结论．

解答：解：∵y=f（x+a）是偶函数，∴有f（-x+a）=f（x+a）
∴f（x）关于x=a对称
∵偶函数在（-∞，a）上是增函数，∴在（a，+∞）上是减函数
∵x₁＜a，x₂＞a，丨x₁-a丨＜丨x₂-a丨，
∴去掉绝对值得a-x₁＜x₂-a，即2a-x₁＜x₂，且2a-x₁＞a，x₂＞a
由（a，+∞）上是减函数知f（2a-x₁）＞f（x₂）
∵f（x）关于x=a对称，
∴f（2a-x₁）=f（x₁）
∴f（x₁）＞f（x₂）
故选A．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．