Question

已知函数f(x)=

(1-3a)x+10 ax-7

 

x≤6 x＞6

，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），且{a_n}是递减数列，则实数a的取值范围是（　　）

• A、(

  1

  3

  ，1)
• B、(

  1

  3

  ，

  1

  2

  )
• C、(

  1

  3

  ，

  5

  6

  )
• D、(

  5

  6

  ，1)

Answer 1

分析：由函数f（x），且数列{a_n}满足a_n=f（n）是递减数列，可得n≤6时，a_n=（1-3a）n+10，1-3a＜0，且有最小值a₆；n＞6时，a_n=a^n-7，0＜a＜1，且有最大值a₇；由a₆＞a₇，得a的取值，从而得a的取值范围．

解答：解：由函数f(x)=

(1-3a)x+10 ax-7

x≤6 x＞6

，且数列{a_n}满足a_n=f（n）是递减数列，则
当n≤6时，a_n=（1-3a）n+10；则1-3a＜0，∴a＞

1

3

，且最小值a₆=16-18a；
当n＞6时，a_n=a^n-7；则0＜a＜1，且最大值a₇=1；
由a₆＞a₇，得16-18a＞1，∴a＜

5

6

；
综上，知实数a的取值范围是：

1

3

＜a＜

5

6

；
故选：C．

点评：本题考查了数列与分段函数的综合应用问题，解题时要认真分析，弄清题目中的数量关系，细心解答，以免出错．