Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=

1

2-an

，a₁=0
（1）试求a₂，a₃，a₄，猜想{a_n}通项公式；
（2）用数学归纳证明猜想．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=0与数列{a_n}的递推关系a_n+1=

1

2-an

，即可求得a₂，a₃，a₄，由此可猜想{a_n}通项公式；
（2）利用数学归纳法证明，假设n=k时a_k=

k-1

k

，去证明n=k+1时，命题也成立即可．

解答：解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+1=

1

2-an

，a₁=0，
∴a₂=

1

2-0

=

1

2

；
a₃=

1

2- 1 2

=

2

3

；
a₄=

1

2- 2 3

=

3

4

；
…
∴可猜想a_n=

n-1

n

；
（2）证明：①当n=1时，a₁=0，成立；
②假设n=k时a_k=

k-1

k

，
则n=k+1时，a_k+1=

1

2-ak

=

1

2- k-1 k

=

k

k+1

=

(k+1)-1

k+1

，
即n=k+1时，命题也成立；
综合①②可得，对任意正整数n，a_n=

n-1

n

．

点评：本题考查数学归纳法，猜得a_n=

n-1

n

是关键，考查猜想、分析与证明的逻辑思维能力，属于难题．