题目内容
【题目】已知等比数列
的前
项和为
，且函数
，若方程
至少有三个实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
由等比数列前
项和的性质，求得参数
，再将方程根的个数的问题，转化为函数图像交点个数的问题，利用导数求得直线与函数相切时的斜率，即可求得参数的范围.
因为等比数列
的前项和为
根据等比数列前项和的性质，容易知
，解得
.
令
，则
方程
至少有三个实数根
等价于
至少有三个实数根，
也等价于函数
与直线
有至少三个交点，
又是斜率为
，且恒过
的直线，
故只需求出函数
与直线有三个交点的临界状态时，对应直线的斜率即可.
则在同一直角坐标系下画出函数图像如下所示：
由图可知，当直线与
相切时，恰有三个交点，
设切点为
，
，故过切点的切线方程为：
，又因为
，且该切线过点
故可得
即
，解得
，
故切点为
，此时直线的斜率为
此时有三个交点，故
可取；
又根据图象可知，当直线过点
时，也是临界状态，
此时直线的斜率为
此时有三个交点，故
可取；
综上所述，要满足题意，只需
即可.
故选：C.
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