Question

一个多面体的直观图和三视图（正视图、侧视图、俯视图）如图所示，M、N分别为A₁B、　 B₁C₁的中点

（1）求多面体的体积V。

（2）求证：MN//平面ACC₁A₁?；

　 （3）求证：MN⊥平面A₁BC

Answer 1

解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁=a.

（1）V=/2

（2）连结AC₁，AB_1。由直三棱柱的性质易知四边形ABB₁A₁为矩形。

由矩形性质可得AB₁过A₁B的中点M.

在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN//AC₁.

又AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁，所以MN//平面ACC₁A₁.

（3）因为BC⊥平面ACC₁A₁，AC1平面ACC₁A_1­，所以BC⊥AC_1.

在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC_1.

又因为BCA_­1C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC.  由MN//AC₁，得MN⊥平面A₁BC.