Question

已知函数f(x)=

2

x

-

1

a

．
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）不等式f（x）＞0，即

2

x

-

1

a

＞0
整理，得

2a-x

ax

＞0，等价于ax（x-2a）＜0
因为a≠0，可得
①a＞0时，解之得0＜x＜2a；②a＜0时，等价于x（x-2a）＞0，解之得x＜2a或x＞0
综上所述，得：
当a＞0时，原不等式的解集为（0，2a）；a＜0时，原不等式的解集为（-∞，2a）∪（0，+∞）．
（2）f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，即

2

x

+2x-

1

a

≥0在（0，+∞）上恒成立，整理得：

2

x

+2x≥

1

a

根据基本不等式，得

2

x

+2x≥2

2 x •2x

=4
∴不等式

2

x

+2x≥

1

a

（0，+∞）上恒成立，即4≥

1

a

，解之得a＜0或a≥

1

4

．
综上所述，得a的取值范围为（-∞，0）∪[

1

4

，+∞）