Question

已知函数y=f（x）满足

a

=(x2，y)，

b

=(x-

1

x

，-1)，且

a

•

b

=-1．
如果存在正项数列{a_n}满足：a1=

1

2

， f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an)-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）求证：

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜1；
（3）求证：

a1 1

+

a2 2

+

a3 3

+…+

an n

＜1+

2

．

Answer 1

分析：（1）利用

a

•

b

=-1，可得y=f（x）=x³-x+1（x≠0），代入f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n）-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．可得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²a_n ．再写一式a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1（n≥2），相减，再利用叠乘法求数列{a_n}的通项；
（2）由（1）得

ai

i

=

1

i2(i+1)

=

1

i

(

1

i

-

1

i+1

)=

1

i2

-(

1

i

-

1

i+1

)＜

1

i(i-1)

-(

1

i

-

1

i+1

)=(

1

i-1

-

1

i

)+(

1

i

-

1

i+1

)(i＞1)，利用放缩法可证；
（3）利用放缩法得

ai i

=

1 i2(i+1)

＜

1 (i-1)i(i+1)

＜

1

i-1 • i+1

•

2

i-1 + i+1

=

1

i-1

-

1

i+1

(i≥2)
代入求和即证．

解答：解：（1）

a

•

b

=-1，∴y=f（x）=x³-x+1（x≠0）
∵f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n）-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
所以代入得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²a_n ①
又a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1（n≥2）②
①-②得 

an

an-1

=

n-1

n+1

则an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

=

1

n(n+1)

(n∈N*)…（4分）
（2）由（1）得

ai

i

=

1

i2(i+1)

=

1

i

(

1

i

-

1

i+1

)=

1

i2

-(

1

i

-

1

i+1

)＜

1

i(i-1)

-(

1

i

-

1

i+1

)=(

1

i-1

-

1

i

)+(

1

i

-

1

i+1

)(i＞1)
∴

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜

1

2

+

1

2

-(

1

n

-

1

n+1

)=1+

1

n+1

-

1

n

=1-

1

n(n+1)

＜1…（9分）
（3）∵

i+1 + i-1

2

＜

(i+1)+(i-1) 2

=

i

∴

1

i

＜

2

i+1 + i-1

而

ai i

=

1 i2(i+1)

＜

1 (i-1)i(i+1)

＜

1

i-1 • i+1

•

2

i-1 + i+1

=

1

i-1

-

1

i+1

(i≥2)
所以

a1 1

+

a2 2

+

a3 3

+…+

an n

＜

a1

1

+(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)＜

1

2

+1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

＜1+

2

…（14分）

点评：本题的考点是数列与不等式的综合，主要考查叠乘法求数列的通项，考查裂项法求和，考查放缩法，关键是合理运用通项，巧妙放缩．