Question

设椭圆 C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线 C₂：x2=4

3

y 的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率 e=

1

2

，过椭圆右焦点 F₂的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线 l，使得 

OM

•

ON

=-2，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）确定椭圆的一个顶点坐标，结合离心率，即可求得椭圆C的方程；
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量数量积公式，即可求得结论．

解答：解：（1）抛物线 C₂：x2=4

3

y 的焦点坐标为（0，

3

），
∴椭圆的一个顶点为（0，

3

），即b=

3

∵e=

c

a

=

1- b2 a2

=

1

2

，∴a=2，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由题意，直线l与椭圆必相交
①斜率不存在时，直线l为x=1，代入椭圆方程，可得y=±

3

2

，∴

OM

•

ON

=-

9

4

，不合题意；
②斜率存在时，设方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

4k2-12

3+4k2

+k²（

4k2-12

3+4k2

-

8k2

3+4k2

+1）=

-5k2-12

3+4k2

=-2
∴k=±

2

，
故直线l的方程为y=

2

（x-1）或y=-

2

（x-1）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．