Question

已知函数f（x）=e^x-ax．
（1）若a=e，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）≥1对x∈R恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说出理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=e^x-ax，知f′（x）=e^x-e，由f′（x）=0，得x=1，列表讨论得到f（x）在（-∞，1）上单调递减，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（2）f（x）≥1对x∈R恒成立等价于e^x-ax-1≥0对x∈R恒成立，令g（x）=e^x-ax-1，得g（0）=0，g′（x）=e^x-a，当a=1时，g′（0）=0，由此入手进行讨论能够导出存在实数a=1，使f（x）≥1对x∈R恒成立．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-e，由f′（x）=0，得x=1，

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极大值	↑

∴f（x）在（-∞，1）上单调递减，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（2）f（x）≥1对x∈R恒成立等价于e^x-ax-1≥0对x∈R恒成立，
令g（x）=e^x-ax-1，得g（0）=0，g′（x）=e^x-a，
当a=1时，g′（0）=0，
x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
g（x）在x=0取得极小值，g（x）≥g（0）=0，g（x）≥0恒成立，
当a＞1时，g（x）在[0，lna]单调递减，当x∈[0，lna]时，g（x）≤g（0）=0，
当0＜a＜1时，g（x）在[lna，0]单调递增，当x∈[lna，0]时，g（x）≤g（0）=0，
当a≤0时，g′（x）≥0，g（x）在R上单调递增，当x≤0时，g（x）≤g（0）=0．
∴存在实数a=1，使f（x）≥1对x∈R恒成立．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，探索实数是否存在．综合性强，难度大，具有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．