题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin $数学公式$ = $数学公式$ ．
（1）求cos C的值；
（2）若△ABC的面积为 $数学公式$ ，且sin²A+sin²B= $数学公式$ sin²C，求a，b及c的值．

解：（1）因为sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以cosC=1-2sin² $\text{[math]}$ =1-2 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ；（5分）
（2）因为sin²A+sin²B= $\text{[math]}$ sin²C，由正弦定理得：a²+b²= $\text{[math]}$ c²．①
由余弦定理得a²+b²=c²+2abcosC，将cosC=- $\text{[math]}$ 代入，
得：ab= $\text{[math]}$ c²．②
由S_△ABC= $\text{[math]}$ absinC= $\text{[math]}$ 及sinC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得：ab=6．③
联立①②③，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，经检验，满足题意．
所以 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，得到关于sin $\text{[math]}$ 的关系式，把sin $\text{[math]}$ 的值代入即可求出值；
（2）把sin²A+sin²B= $\text{[math]}$ sin²C利用正弦定理化简，得到一个关于a，b和c的关系式，记作①，然后根据余弦定理表示出cosC，把（1）中求出的cosC的值代入，得到关于a，b和c的另一关系式，记作②，又根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让面积等于 $\text{[math]}$ 的一个关系式，且由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，把sinC的值代入关系式中化简，得到又一个关于a，b的关系式，记作③，联立①②③组成方程组，求出方程组的解即可得到a，b和c的值．
点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理及三角形的面积公式化简求值，灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．