Question

已知a∈R，函数f（x）=x²|x﹣a|．
（1）当a=2时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，f（x）=x²|x﹣2|
当x＜2时，由f（x）=x²（2﹣x）=x，解得x=0或x=1；
当x≥2时，由f（x）=x²（x﹣2）=x，解得x=1+ ．
综上，所求解集为{0，1，1+ }
（Ⅱ）设此最小值为m．
①当a≤1时，在区间[1，2]上，f（x）=x³﹣ax²，
∵f′（x）=3x²﹣2ax=3x（x﹣ a）＞0，x∈（1，2），
则f（x）是区间[1，2]上的增函数，
∴m=f（1）=1﹣a．
②当1＜a≤2时，在区间[1，2]上，f（x）=x²|x﹣a|≥0，由f（a）=0知m=f（a）=0．
③当a＞2时，在区间[1，2]上，f（x）=ax²﹣x³f′（x）=2ax﹣3x²=3x（ a﹣x）．
若a≥3，在区间（1，2）上，f'（x）＞0，则f（x）是区间[1，2]上的增函数，
∴m=f（1）=a﹣1．
若2＜a＜3，则1＜ a＜2．
当1＜x＜ a时，f'（x）＞0，则f（x）是区间[1， a]上的增函数，
当 a＜x＜2时，f'（x）＜0，则f（x）是区间[ a，2]上的减函数，
因此当2＜a＜3时，故m=f（1）=a﹣1或m=f（2）=4（a﹣2）．
当2＜a≤ 时，4（a﹣2）≤a﹣1，故m=f（2）=4（a﹣2），
当 ＜a＜3时，4（a﹣2）＜a﹣1，故m=f（1）=a﹣1．
总上所述，所求函数的最小值m= ．