Question

15．设f（x）=|x-1|+|x-a|
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3．
（2）若对任意的x∈R，f（x）≥4，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）≥3的解集．
（2）由条件利用绝对值的意义求得|x-1|+|x-a|的最小值为|a-1|，由题意可得|a-1|≥4，由此求得a的范围．

解答 解：（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3，即|x-1|+|x+1|≥3．
根据|x-1|+|x-a|表示数轴上的x对应点到1、-1对应点的距离之和，
而-1.5和1.5对应点到1、-1对应点的距离之和正好等于3，
故不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤-1.5，或 x≥1.5}．
（2）若对任意的x∈R，f（x）≥4，f（x）=|x-1|+|x-a|表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，
由题意可得它的最小值|a-1|≥4，求得a-1≥4 或a-1≤-4，求得a≥5 或a≤-3，
故实数a的取值范围为[5，+∞）∪（-∞，-3]．

点评 本题主要考查绝对值的意义、绝对值的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．