Question

已知函数f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

，x∈R．
（I）求f（

π

4

）的值；
（II）试讨论函数f（x）的基本性质（直接写出结论）．

Answer 1

分析：（法一）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f(x)=sin(2x+

π

3

)
（I）直接把x=

π

4

代入可求．
（II）结合正弦函数的性质：奇偶性，单调性，最值，周期性等方面求解
（法二）（I）直接把x=

π

4

代入求解即可．
（II）同法一

解答：解：（法一）f(x)=

3

×

1+c0s2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)
（I ）f(

π

4

)=sin(2×

π

4

+

π

3

 )=cos

π

3

=

1

2

（II）函数的基本性质如下
①奇偶性：函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数
②单调性：函数f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]  k∈Z，单调减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]  k∈Z
③最值：函数f（x）的最大值1，最小值为-1
④周期性：函数f（x）的最小正周期为
（法二）（I）f(

π

4

)=

3

cos2 

π

4

+sin

π

4

cos

π

4

-

3

2

=

3

×

1

2

+

2

2

×

2

2

-

3

2

=

1

2

（II）f(x)=

3

×

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

      

1

2

sin2x+

3

2

cos2x=sin(2x+

π

3

)
下同解法一的（II）．

点评：本题主要考查了二倍角公式、两角和与差的三角函数的图象与性质等基础知识，考查求解运算能力，考查转化与化归思想