题目内容

已知函数：（1） $数学公式$ ；（4） $数学公式$ ；（5）f（x）=log₂x
其中f（x）对于区间（0，1）上的任意两个值x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立的函数序号是______（请把你认为正确的函数序号都填上）．

解：对于（1）： $\text{[math]}$ ，|f（x₂）-f（x₁）|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞|x₂-x₁|（因为x₁，x₂在区间（0，1）上，故x₁x₂小于1），故不符合题意；
对于（2）：f（x）= $\text{[math]}$ x³-x，|f（x₁）-f（x₂）|=| $\text{[math]}$ x₁³-x₁- $\text{[math]}$ x₂³+x₂|=|x₁-x₂|•| $\text{[math]}$ （x₁²+x₁x₂+x₂²）-1|≤|x₁-x₂|成立，故符合题意；
对于（3）：f（x）=cosx，|f（x₁）-f（x₂）|=|cosx₁-cosx₂|≤|x₁-x₂|，可根据在（0，1）上任意两点的斜率绝对值小于等于1可知成立，故符合题意；
对于（4）：f（x）= $\text{[math]}$ ，可根据在（0，1）上任意两点的斜率对值小于等于1，可知|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，故符合题意；
对于（5）：f（x）=log₂x，可根据在（0，1）上任意两点的斜率对值大于1，可知|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|不成立，故不符合题意；
故答案为：（2）（3）（4）
分析：首先分析题目要求满足：“对于区间（0，1）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的函数，即找满足在（0，1）上任意两点的斜率对值小于等于1的函数．
点评：本题主要考查绝对值不等式的应用问题，对于此类型的题目需要对题目选项一个一个做分析，然后用排除法作答即可．属于中档题．