Question

P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为

 

．

Answer 1

分析：先根据P到两准线的距离求得

a2

c

=9，进而根据椭圆的第二定义可知|PF₁|=6e，|PF₂|=12e，根据P与两焦点连线互相垂直利用勾股定理建立等式求得a，进而求得c，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．

解答：解：因为P到两准线距离分别为6、12，不妨设P到左准线距离为6，那么12+6=2

a2

c

，即

a2

c

=9
因为椭圆上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为离心率e，
所以|PF₁|=6e，|PF₂|=12e
又因为PF₁垂直于PF₂，
所以|F₁F₂|²=（6e）²+（12e）²=180e²=4c²，
所以a²=45
由

a2

c

=9得c=5，
∴b²=a²-c²=20
因此，椭圆方程为

x2

45

+

y2

20

=1
故答案为

x2

45

+

y2

20

=1

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的定义；解题的关键是利用了椭圆的第二定义．