Question

已知函数f（x）=ln

ex

2

-f′（1）•x，g（x）=

3x

2

-

2a

x

-f（x）（其中a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）在区间[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（3）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=1时，若存在x₁∈（0，1]，对任意的x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得f′（1）=

1

2

，从而可得f′（x）=

1

x

-

1

2

（x＞0），继而可求f（x）的单调区间；
（2）g（x）=2x-lnx-

2a

x

+ln2-1在[2，+∞）上为增函数⇒g′（2）≥0，从而可求a的取值范围；
（3）当a=1时，由g′（x）=2-

1

x

+

2

x2

=2(

1

x

-

1

4

)2+

15

8

＞0可知g（x）=2x-lnx-

2

x

+ln2-1在区间（0，1]上单调递增，从而可求g（x）_max，依题意，由

g(1)≥h(1) g(1)≥h(2)

即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=ln

ex

2

-f′（1）•x=1+lnx-ln2-f′（1）•x，
∴f′（x）=

1

x

-f′（1），
∴f′（1）=1-f′（1），
∴f′（1）=

1

2

；
∴f′（x）=

1

x

-

1

2

（x＞0）．
由f′（x）＞0得0＜x＜2；由f′（x）＜0得x＞2；
∴f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（2，+∞）．
（2）∵g（x）=

3

2

x-

2a

x

-f（x）=

3

2

x-

2a

x

-（1+lnx-ln2-

1

2

•x）
=2x-lnx-

2a

x

+ln2-1在[2，+∞）上为增函数，
∴g′（2）=2-

1

x

|_x=2+

2a

x2

|_x=2≥0，
解得a≥-3．
（3）∵a=1，
∴g（x）=2x-lnx-

2

x

+ln2-1，
∴g′（x）=2-

1

x

+

2

x2

=2(

1

x

-

1

4

)2+

15

8

＞0，
∴g（x）=2x-lnx-

2

x

+ln2-1在区间（0，1]上单调递增，
∴g（x）_max=g（1）=ln2-1，
而“?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立”等价于“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
所以有 

g(1)≥h(1) g(1)≥h(2)

，
∴

ln2-1≥1-m+4 ln2-1≥4-2m+4

，
解得m≥6-ln2，
所以实数m的取值范围是[6-ln2，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查导数在最大值、最小值问题中的应用，（3）中对题意的理解与应用是难点，属于难题．