Question

已知函数f(x)=log_a(x+1)(a＞1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.

（1）写出函数g(x)的解析式；

（2）当x∈［0，1）时总有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范围.

Answer 1

（1）y=g(x)=-log_a(1-x)（2）m≤0

解析:

（1）设P（x，y）为g(x)图象上任意一点，

则Q（-x，-y）是点P关于原点的对称点，

∵Q（-x，-y）在f(x)的图象上，

∴-y=log_a（-x+1），即y=g(x)=-log_a(1-x).

（2）f(x)+g(x)≥m,即log_a≥m.

设F（x）=log_a,x∈［0，1），

由题意知，只要F（x）_min≥m即可.

∵F（x）在［0，1）上是增函数，

∴F（x）_min=F（0）=0.故m≤0即为所求.