Question

12．实数x、y满足$\left\{{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+2y≤4}\\{y≥-2}\end{array}}\right.$，则z=x²+y²+2x-2y的最小值为0．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
则z=x²+y²+2x-2y=z=（x+1）²+（y-1）²-2，
设m=（x+1）²+（y-1）²，则m的几何意义为区域内的点倒是定点D（-1，1）的距离的平方，
由图象知D到直线y=x的距离最小，
此时d=$\frac{|-1-1|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，则m=d²=2，
故z的最小值为z=2-2=0，
故答案为：0．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离的求解，利用数形结合是解决本题的关键．