Question

已知函数f(x)＝e^x－kx，

(1)若k＝e，试确定函数f(x)的单调区间；

(2)若k＞0，且对于任意x∈R，f(|x|)＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；

(3)设函数F(x)＝f(x)＋f(－x)，求证：F(1)F(2)…F(n)＞．

Answer 1

答案：
解析：

②当k∈(1，＋∞)时，lnk＞0，当x变化时、f(x)的变化情况如下表： 　　由此可得，在[0，＋∞)上，f(x)≥f(lnk)＝k－klnk． 　　依题意，k－klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e． 　　综合①、②得，实数k的取值范围是0＜k＜e． 　　(3)∵F(x)＝f(x)＋f(－x)＝ex＋e－x， 　　∴ 　　 　　 　　 　　 　　 　　F(n)F(1)＞en+1＋2． 　　由此得，[F(x)F(2)…F(n)]2＝[F(1)F(n)][F(2)F(n－1)]…[F(n)F(1)]＞(en+1＋2)n， 　　故F(1)F(2)…F(n)＞