Question

已知函数f（x）=ax³-x²+cx+d（a、c、d∈R）满足f（0）=0，f′（1）=0且f′（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a、c、d的值；
（2）若h（x）=x²-bx+-，解不等式f′（x）+h（x）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用f（0）=0，f′（1）=0得到d的值和a，c的关系式，然后利用一元二次不等式大于等于0恒成立时a＞0，△≤0，求出a的值，从而问题得解；
（2）结合（1）和已知，先将不等式化简，即x²-（）x+＜0，然后根据解一元二次不等式的步骤，先令x²-（）x+=0，解得x=b或x=，然后根据b与的大小关系分类讨论，进行解答．
解答：解：（1）∵f（x）=ax³-x²+cx+d，
∴f′（x）=ax²-x+c，
∵f（0）=0，f′（1）=0，
∴d=0，a-+c=0，
即d=0，c=，
从而f′（x）=ax²-x+-a．
∵f′（x）≥0在R上恒成立，
∴a＞0，△=4a（-a）≤0，
即a＞0，（a-）²≤0，
解得a=，c=，d=0，
（2）由（1）知，f′（x）=x²-x+，
∵h（x）=x²-bx+-，
∴不等式f′（x）+h（x）＜0化为x²-x++x²-bx+-＜0，
即x²-（）x+＜0，
∴（x-）（x-b）＜0，
①若b＞，则所求不等式的解为＜x＜b；
②若b=，则所求不等式的解为空集；
③若b＜，则所求不等式的解为b＜x＜．
综上所述，当时，所求不等式的解为；当时，所求不等式的解为∅；当时，所求不等式的解为．
点评：此题是导数与不等式的综合问题，同时考查了一元二次不等式大于等于0恒成立的条件和分类讨论的数学思想．