Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

11

，an+1=

an

1-2an

（n∈N^*）．
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列．
（2）令b_n=|

1

an

|，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n≠0，an+1=

an

1-2an

，两边求倒数整理可得，

1

an+1

-

1

an

=-2，可证
（2）由（1）可得

1

an

=11+(n-1)×(-2)=-2n+13，则bn=|

1

an

|=|13-2n|=

13-2n，n≤6 2n-13，n＞6

，设数列列{

1

an

}的前项和为T_n，若n≤6时，S_n=T_n；若n＞7时，S_n=2T₆-T_n，代入可求

解答：（1）证明：∵a_n≠0，an+1=

an

1-2an

∴

1

an+1

=

1-2an

an

=

1

an

-2
∴

1

an+1

-

1

an

=-2，

1

a1

=11
∴数列{

1

an

}是以11为首项，以-2为公差的等差数列等差数列．
（2）解：由（1）可得

1

an

=11+(n-1)×(-2)=-2n+13
∴bn=|

1

an

|=|13-2n|=

13-2n，n≤6 2n-13，n＞6

设数列列{

1

an

}的前项和为T_n，则由等差数列的求和公式可得，Tn=

11+13-2n

2

×n=12n-n²
若n≤6时，S_n=T_n=12n-n²
若n＞7时，S_n=T₆+[-（T_n-T₆）]=2T₆-T_n=n²-12n+72
∴Sn=

12n-n2，n≤6 n2-12n+72，n≥7

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论在求解中的应用．