Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值；
（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+∞）
b=-12时，由f′(x)=

2x2+2x-12

x+1

=0，得x=2（x=3舍去），
当x∈[1，2）时f^′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f^′（x）＞0，
所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，
所以f（x）_min=f（2）=4-12ln³
（2）由题意f′(x)=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x²+2x+b，则

△=4-8b＞0 g(-1)＞0

，解之得0＜b＜

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