Question

数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=a，a_n+1是函数fn(x)=

1

3

x3-

1

2

(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点．若数列{a_n}是等比数列，则a的取值范围是

 

Answer 1

分析：先对函数f_n（x）进行求导，令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系判断函数f_n（x）的单调性进而得到极值点，若对任意的n，都有3a_n＞n²，则a_n+1=3a_n．可得到数列{a_n}的通项公式，而要使3a_n＞n²，即a•3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立，只需a＞

n2

3n

对一切n∈N^*都成立．然后记b=

n2

3n

，则可分别求得b₁，b₂，b₃，再令y=

x2

3x

后求导判断在[2，+∝）上的单调性，求出数列{b_n}的最大项，然后根据a的不同范围判断数列{a_n}是否是等比数列，进而得到答案．

解答：解：易知f′_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）．令f′_n（x）=0，得x₁=3a_n，x₂=n²．
①若3a_n＜n²，则当x＜3a_n时，f′_n（x）＞0，f_n（x）单调递增；当3a_n＜x＜n²时，f′_n（x）＜0，f_n（x）单调递减；当x＞n²时，f′_n（x）＞0，f_n（x）单调递增．故f_n（x）在x=n²取得极小值．
②若3a_n＞n²，仿①可得，f_n（x）在x=3a_n取得极小值．
③若3a_n=n²，则f′_n（x）≥0，f_n（x）无极值．
若对任意的n，都有3a_n＞n²，则a_n+1=3a_n．即数列{a_n}是首项为a，公比为3的等比数列，且a_n=a•3^n-3．
而要使3a_n＞n²，即a•3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立，只需a＞

n2

3n

对一切n∈N^*都成立．
记bn=

n2

3n

，则b1=

1

3

，b2=

4

9

，b3=

1

3

，.
令y=

x2

3x

，则y′=

1

3x

(2x-x2ln3)＜

1

3x

(2x-x2)．
因此，当x≥2时，y'＜0，从而函数y=

x2

3x

在[2，+∝）上单调递减，
故当n≥2，数列{b_n}单调递减，即数列{b_n}中最大项为b₂=

4

9

，于是当a＞

4

9

是，必有a＞

n2

3n

，
这说明当a∈（

4

9

，+∞）时，数列{a_n}是等比数列．
当a=

4

9

，可得a₁=

4

9

，a₂=

4

3

，而3a₂=4=2²，又③知，f₂（x）无极值，不合题意．
当

1

3

＜a＜

4

9

时，可得a₁=a，a₂=3a，a₃=4，a₄=12…，数列{a_n}不是等比数列．
当a=

1

3

时，3a=1=1²，由（3）知，f₁（x）无极值，不合题意．
当a＜

1

3

时，可得a₁=a，a₂=1，a₃=4，a₄=12，，数列{a_n}不是等比数列．
综上所述，存在a，使数列{a_n}是等比数列，且a的取值范围为(

4

9

，+∞)．

点评：本题主要考查了等比数列的性质、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、函数极值．考查学生的综合运算能力．