Question

如图，在三棱锥B-ACD中，AB=BD=CD=1，AC=，BE⊥AC，CD⊥DE，∠DCE=30°．
（Ⅰ）求证：平面BCE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要证平面BCE⊥平面ACD，需证BE⊥面ACD，即可．
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．用等体积方法求出C到面ABD的距离即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知得，
∴BE²+DE²=BD²，
∴BE⊥DE又∵BE⊥AC，∴BE⊥面ACD，
∵BE?，面BDE，
∴面BDE⊥面ACD

（Ⅱ）方法一：
设C到平面ABD的距离为h，由V_B-ACD=V_C-ABD，
得
则．
设AC于平面ABD所成角为α，则，
∴AC与平面ABD所成角的正弦值为．

方法二：建立如图所示直角坐标系，则
D（0，0，0），A（，，0），
B（，0，），C（0，1，0），
∴=（，，0），=（，，0）=（，0，）
设平面ABD的一个法向量为n=（x，y，z），
则
∴取n=（，，-1）
设AB于平面ABD所成角为α，
∴AC与平面ABD所成角的正弦值为
点评：本题考查空间直线和平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，空间直角坐标系的运算，是中档题．