Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F₂，点F₁与F₂关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴，垂足为T，与抛物线交于不同的两点P、Q且

F1P

•

F2Q

=-5．
（1）求点T的横坐标x₀；
（2）若以F₁，F₂为焦点的椭圆C过点(1，

2

2

)．
①求椭圆C的标准方程；
②过点F₂作直线l与椭圆C交于A，B两点，求|

TA

+

TB

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），进而根据

F1P

•

F2Q

=-5，即P（x₀，y₀）在抛物线上满足y02=4x0，可求出点T的横坐标x₀；
（2）①由（1）可得F₁，F₂的坐标，进而得到椭圆C的c值，结合椭圆过点(1，

2

2

)，可得a，b的值，进而得到椭圆C的标准方程；
②由过点F₂作直线l与椭圆C交于A，B两点，分直线l的斜率不存在和存在两种情况，利用平方法中，可求出|

TA

+

TB

|的取值范围．

解答：解：（1）由题意得F₂（1，0），F₁（-1，0），
设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀）
则

F1P

=(x0+1，y0)，

F2Q

=(x0-1，-y0)．
由

F1P

•

F2Q

=-5，
得x02-1-y02=-5即x02-y02=-4，①…（2分）
又P（x₀，y₀）在抛物线上，则y02=4x0，②
联立①、②易得x₀=2…（4分）
（2）①设椭圆的半焦距为c，由题意得c=1，
设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则

1

a2

+

1 2

b2

=1③，a²=b²+1④…（5分）
将④代入③，解得b²=1或b2=-

1

2

（舍去）
所以a²=b²+1=2…（6分）
故椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1…（7分）
②．（ i）当直线l的斜率不存在时，A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，
又T（2，0），所以|

TA

+

TB

|=|(-1，

2

2

)+(-1，-

2

2

)|=2…（8分）
（ ii）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），（k∈R）
由

y=kx-k x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由根与系数的关系，
可得：x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1•x2=

2k2-2

1+2k2

…（9分）

因为

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=（x₂-2，y₂），
所以

TA

+

TB

=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），
又x1+x2-4=

-4(1+k2)

1+2k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k
故|

TA

+

TB

|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=

16(1+k2)2

(1+2k2)2

+

4k2

(1+2k2)2

=

4(1+2k2)2+10(1+2k2)+2

(1+2k2)2

=4+

10

1+2k2

+

2

(1+2k2)2

…（11分）
令t=

1

1+2k2

，因为0＜

1

1+2k2

≤1，即t∈（0，1]，
所以|

TA

+

TB

|2=2t2+10t+4=2(t+

5

2

)2-

17

2

∈（4，16]．
所以|

TA

+

TB

|∈(2，4]…（13分）
综上所述：|

TA

+

TB

|∈([2，4]．…（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的位置关系，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，是直线与椭圆、抛物线的综合应用，难度较大，属于难题．