Question

设{a_n}是等差数列,a₁=1,a₃=2,设P_n=a₁+?a₃+a₉+…+a_k(k=3^n-1,n∈N^*),Q_n=a₂+a₆+a₁₀+…+a_l(l=4n-2,n∈N^*),问P_n与Q_n哪一个大?证明你的结论.

      

Answer 1

解析:由已知,得a_n=,?

       ∴P_n=?

       =(3⁰+3¹+…+3^n-1)+.?

       ∵a_4n-2==2n-,?

       ∴Q_n=2(1+2+…+n)- ?

       =n(n+1)-.?

       当n=1时,P₁=1,Q₁=,∴P₁<Q₁;?

       当n=2时,P₂=3,Q₂=5,∴P₂<Q₂;?

       当n=3时,P₃=8,Q₃=,∴P₃<Q₃;?

       当n=4时,P₄=22,Q₄=18,∴P₄>Q₄;?

       当n=5时,P₅=63,Q₅=,∴P₅>Q₅.?

       猜想:当1≤n≤3时,P_n<Q_n;当n≥4时,P_n>Q_n.?

       证明:①当n=1,2,3时,已验证.?

       ②假设n=k(k≥4)时,P_k>Q_k,?

       即,?

       得3^k>4k²+1.可得3^k+1>12k²+3,?

       即.?

       ∴.?

       ∵6k²+k+2-［2(k+1)²+(k+1)］?

       =4k²-4k-1>0(k≥4),?

       ∴,?

       即当n=k+1时,P_k+1>Q_k+1.?

       综合①②,得1≤n≤3时,P_n<Q_n;?

       n≥4时,P_n>Q_n.