Question

已知函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，且对任意实数x都有f（x+1）=2f（x）+1，则f（2012）的值是

1. A.
   1
2. B.
   0
3. C.
   -1
4. D.
   -2

Answer 1

C
分析：由偶函数的定义可得f（-x）=f（x），再由f（x+1）=2f（x）+1 可得 f（x+2）=f（x），故f（2012）=f（0）．由已知条件f（x+1）=2f（x）+1 求得f（0）的值，即为所求．
解答：∵函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，∴f（-x）=f（x）．
再由f（x+1）=2f（x）+1 可得 f（1-x）=2f（-x）+1=2f（x）+1，
∴f（1-x）=f（1+x），
∴f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数．
故 f（2012）=f（0）．
由已知条件f（x+1）=2f（x）+1 可得 ，解得 f（0）=-1，
故选C．
点评：本题主要考查利用函数的奇偶性和周期性求函数的值，判断函数f（x）是周期为2的周期函数，是解题的关键，属于基础题．