Question

设a∈R，函数f（x）=

- 1 x +a，x＜0 x (x-a)-1，x＞0

（Ⅰ）当a=2时，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任何x∈R，且x≠0，都有f（x）＞x-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=2时，当x＜0时，f(x)=-

1

x

+2，当x＞0时，f(x)=

x

(x-2)-1，可用导数判单调性；
（2）当x＜0时，f（x）＞x-1?-

1

x

+a＞x-1?a＞

1

x

+x-1，转化为求

1

x

+x-1的最大值问题
当x＞0时，f（x）＞x-1?

x

(x-a)-1＞x-1，即a＜x-

x

，转化为求x-

x

的最小值，可用导数求解．

解答：解：（Ⅰ）当x＜0时，f(x)=-

1

x

+2，
因为f′(x)=

1

x2

＞0，所以f（x）在（-∞，0）上为增函数；
当x＞0时，f(x)=

x

(x-2)-1，f′(x)=

3

2

x

-

1

x

，由f′（x）＞0，解得x＞

2

3

，由f′（x）＜0，解得0＜x＜

2

3

，
所以f（x）在(

2

3

，+∞)上为增函数，在(0，

2

3

)上为减函数．
综上，f（x）增区间为（-∞，0）和(

2

3

，+∞)，减区间为(0，

2

3

)．
（Ⅱ）当x＜0时，由f（x）＞x-1，得-

1

x

+a＞x-1，即a＞

1

x

+x-1，
设g(x)=

1

x

+x-1，
所以g(x)=-[(-

1

x

)+(-x)]-1≤-2

(-x)•(- 1 x )

-1=-3（当且仅当x=-1时取等号），
所以当x=-1时，g（x）有最大值-3，
因为对任何x＜0，不等式a＞

1

x

+x-1恒成立，所以a＞-3；
当x＞0时，由f（x）＞x-1，得

x

(x-a)-1＞x-1，即a＜x-

x

，
设h(x)=x-

x

，则h(x)=x-

x

=(

x

-

1

2

)2-

1

4

，
所以当

x

=

1

2

，即x=

1

4

时，h（x）有最小值-

1

4

，
因为对任何x＞0，不等式a＜x-

x

恒成立，所以a＜-

1

4

．
综上，实数a的取值范围为-3＜a＜-

1

4

．

点评：本题考查分段函数的单调性判断、已知不等式恒成立求参数范围问题，综合性强，难度较大．