Question

（2012•海淀区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点（-1，

2

2

）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点Q（

5

4

，0），动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：

QA

•

QB

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知：c=1，根据椭圆定义可求得a，根据b²=a²-c²可得b；
（Ⅱ）分直线l的斜率为0，不为0两种情况进行讨论：当直线l的斜率为0时直接按照向量数量积运算即可；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立直线方程与椭圆方程消掉x得y的二次方程，由韦达定理及向量数量积公式代入运算可得结论；

解答：（Ⅰ）解：由题意知：c=1．
根据椭圆的定义得：2a=

(-1-1)2+( 2 2 )2

+

2

2

，解得a=

2

．
所以 b²=2-1=1．
所以椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）证明：当直线l的斜率为0时，A(

2

，0)，B(-

2

，0)．
则 

QA

•

QB

=(

2

-

5

4

，0)•(-

2

-

5

4

，0)=-

7

16

．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x2 2 +y2=1 x=ty+1

，可得：（t²+2）y²+2ty-1=0．
显然△＞0，则

y1+y2=- 2t t2+2 y1y2=- 1 t2+2 .

，
因为x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1，
所以

QA

•

QB

=(x1-

5

4

，y1)•(x2-

5

4

，y2)=(ty1-

1

4

)(ty2-

1

4

)+y1y2
=(t2+1)y1y2-

1

4

t(y1+y2)+

1

16

=-(t2+1)

1

t2+2

+

1

4

t

2t

t2+2

+

1

16

=

-2t2-2+t2

2(t2+2)

+

1

16

=-

7

16

，即 

QA

•

QB

=-

7

16

．
综上，

QA

•

QB

=-

7

16

，即

QA

•

QB

为定值．

点评：本题考查椭圆方程、直线方程及其位置关系，考查向量的数量积运算，考查学生解决问题的能力．