Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，通项公式为an=

1

n

，f(n)=

S2n   n=1 S2n-Sn-1  n≥2

．
（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）此问根据通项公式计算出前n项的和．当n=1时，f（1）=s₂；当n=2时，f（2）=s₄-s₁=a₂+a₃；当n=3时，f（3）=s₆-s₂．（2）当n=1时，f(1)=a1+a2=1+

1

2

≥1．当n≥2时，f（n）中没有a₁，因此都小于1．

解答：解：（Ⅰ）由已知f(1)=S2=1+

1

2

=

3

2

，f(2)=S4-S1=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

，f(3)=S6-S2=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

；（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．（4分）
下面用数学归纳法证明：
（1）由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1；（5分）
（2）假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即f(k)=

1

k

+

1

k+1

++

1

2k

＜1，那么f(k+1)=

1

k+1

+

1

k+2

++

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=(

1

k

+

1

k+1

+

1

k+2

++

1

2k

)+

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k

＜1+(

1

2k+1

-

1

2k

)+(

1

2k+2

-

1

2k

)=1+

2k-(2k+1)

2k(2k+1)

+

2k-(2k+2)

2k(2k+2)

=1-

1

2k(2k+1)

-

1

k(2k+2)

＜1，
所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．（9分）
所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．（10分）

点评：此题主要考查数列递推式及相关计算．