Question

9．已知函数f（x）的导函数在（a，b）上的图象关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称，则函数y=f（x）在[a，b]上的图象可能是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 对于A、B、C，由图象得出在a处与b处切线的斜率不等，即可排除答案；
对于D，由图象得出是中心对称图形，对称中心是直线x=$\frac{a+b}{2}$与原函数的交点，由此判断命题成立．

解答 解：函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称，
∴导函数的图象无增减性，或在直线x=$\frac{a+b}{2}$的两侧单调性相反；
对于A，由图知，在a处切线斜率最小，在b处切线斜率最大，∴导函数图象不关于直线 x=$\frac{a+b}{2}$对称，A不成立；
对于B，由图知，在a处切线斜率最大，在b处切线斜率最小，∴导函数图象不关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称，B不成立；
对于C，由图知，在a、b处切线的斜率大小相等，符号相反，导函数的图象是中心对称图形，C不成立；
对于D，由图知，原函数是中心对称函数，对称中心在直线x=$\frac{a+b}{2}$与原函数图象的交点处，
∴导函数图象关于直线 x=$\frac{a+b}{2}$对称，D成立．
故选 D．

点评 本题考查了利用函数的导数判断函数增减性的应用问题，也考查了函数导数的几何意义的应用问题，是基础题目．