Question

已知在（x²-）ⁿ的展开式中，第9项为常数项，求：
（1）n的值；
（2）展开式中x⁵的系数；
（3）含x的整数次幂的项的个数．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据（x²-）ⁿ的展开式中，第9项为常数项，而第9项的通项公式为 T₉=2^8-n••x^2n-20，故有 2n-20=0，由此解得 n=10．
（2）由（1）可得展开式的通项公式为 T_r+1=（-1）^r•2^r-10••．令x的幂指数等于5，求得r的值，可得展开式中x⁵的系数．
（3）由20- 为整数，可得r=0，2，4，6，8，从而得到含x的整数次幂的项的个数．
解答：解：（1）在（x²-）ⁿ的展开式中，第9项为常数项，而第9项的通项公式为 T₉=•2^8-n•x^2n-16•x^-4=2^8-n••x^2n-20，
故有 2n-20=0，解得 n=10．
（2）由（1）可得展开式的通项公式为 T_r+1=•2^r-10•x^20-2r•（-1）^r•=（-1）^r•2^r-10••．
令20-=5，求得r=6，故展开式中x⁵的系数为•=．
（3）由20- 为整数，可得r=0，2，4，6，8，故含x的整数次幂的项的个数为5．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．