Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴．
（1）用a分别表示b和c；
（2）当bc取得最小值时，求函数g（x）=﹣f（x）e^x的单调区间．

Answer 1

解：（1）由f（x）=ax²+bx+c得到f'（x）=2ax+b．
因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，
又曲线y=f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，
故f'（﹣1）=0，即﹣2a+b=0，
因此b=2a．
（2）由（1）得bc=2a（2a+3）=4（a+）²﹣，
故当a=﹣时，bc取得最小值﹣．
此时有b=﹣，c=．从而f（x）=﹣x²﹣x+，
f '（x）=﹣x﹣，g（x）=﹣f（x）e^x=（x²+x﹣）e^x，
所以g'（x）=﹣f'（x）e^x+（﹣f（x））e^x=（x²+4x）e^x
令g'（x）=0，解得x₁=0，x₂=﹣4．
当x∈（﹣∞，﹣4）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（﹣∞，﹣4）上为增函数；
当x∈（﹣4，0）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（﹣4，0）上为减函数．
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数．
由此可见，函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣4）和（0，+∞）；单调递增区间为（﹣4，0）．