题目内容

已知函数=，=alnx，aR。

（1） 若曲线y=与曲线y=相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

（2）设函数h(x)= ,当h(x)存在最小之时，求其最小值的解析式；

（3）对（2）中的，证明：当a（0，+）时，1.

 

【答案】

因为两曲线在交点处有相同切线，所以两函数在交点处的导数相等

 =，g’(x)= ， 令f’(x)=g’(x)得=，代入原函数，令f(x)=g(x)解得x=

  所以交点坐标为（,e），该点导数即斜率为， 切线：y-e=·（x-）

  即 y=x+

（2）函数h(x)= ， ，

，h(x)为减函数，，h(x)为增函数，

（3）当a（0，+）时，，

，，

，为增函数，，为减增函数，则

【解析】略

 

练习册系列答案
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已知函数f(x)=aln(x+2)+
12
x2-2x，讨论函数f（x）的单调性．
已知函数f(x)=aln(x+1)-
x
1+x
在[0，+∞）上单调递增，数列{an}满足a1=
1
3
，a2=
7
9
，an+2=
4
3
an+1-
1
3
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求实数a的取值范围以及a取得最小值时f（x）的最小值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）求证：
1
a1+2
+
1
a2+2
+…+
1
an+2
＜ln
3n+1-2
（n∈N*）．
已知函数f(x)=aln(x+1)-
2xx+1
+b的图象与直线x+y-2=0相切于点（0，c）．
求：
（1）实数a的值；
（2）函数f（x）的单调区间和极小值．
（2012•海淀区二模）已知函数f(x)=aln(x-a)-
1
2
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（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x）只有一个零点x0，且a+1＜x0＜a+2；
（III）当a=-
4
5
时，记函数f（x）的零点为x0，若对任意x1，x2∈[0，x0]且x2-x1=1，都有|f（x2）-f（x1）|≥m成立，求实数m的最大值．
（本题可参考数据：ln2=0.7，ln
9
4
=0.8，ln
9
5
=0.59）
已知函数f(x)=aln(x+1)+
1x-1

（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a=3时，求f（x）的极值；
（3）求f（x）的单调区间．

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