Question

已知函数f(x)=lg(x+

a

x

-2)，其中a是大于0的常数
（1）当a=1时，求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由x+

1

x

-2＞0得，

x2-2x+1

x

=

(x-1)2

x

＞0，由此能求出函数f（x）的定义域．
（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+

a

x

-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立，故a＞3x-x²，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=lg(x+

a

x

-2)，a=1，
∴由x+

1

x

-2＞0得，

x2-2x+1

x

=

(x-1)2

x

＞0
解得，f（x）的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即x+

a

x

-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立，
∴a＞3x-x²，而h(x)=3x-x2=-(x-

3

2

)2+

9

4

在x∈[2，+∞）上是减函数，
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2．

点评：本题考查函数的定义域的求法，确定a的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的单调性的合理运用．