题目内容

已知数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n，a₁=1．
（Ⅰ）求数列{ $数学公式$ }的前n项和T_n；
（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²- $数学公式$ 成立，求实数t的取值范围．

解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n，
∴ $\text{[math]}$
∴数列{ $\text{[math]}$ }是等差数列，
∵a₁=1，∴ $\text{[math]}$ ，∴a_n=n
∵ $\text{[math]}$
∴T_n=1- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²- $\text{[math]}$ 成立，只要（T_n）_min＜t²- $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴T_n是单调递增的
∵n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，∴（T_n）_min=T（1）= $\text{[math]}$
于是只要 $\text{[math]}$ ＜t²- $\text{[math]}$ ，∴t＜-1或t＞1
∴实数t的取值范围是t＜-1或t＞1．
分析：（Ⅰ）根据数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n，可得数列{ $\text{[math]}$ }是等差数列，从而可得a_n=n，再根据 $\text{[math]}$ ，即可求得数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和T_n；
（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²- $\text{[math]}$ 成立，只要（T_n）_min＜t²- $\text{[math]}$ ，利用作差法证明T_n是单调递增的
，从而问题转化为 $\text{[math]}$ ＜t²- $\text{[math]}$ ，由此可求实数t的取值范围．
点评：本题考查构造法求数列的通项，考查数列的求和，考查恒成立问题，解题的关键是将存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²- $\text{[math]}$ 成立，转化为（T_n）_min＜t²- $\text{[math]}$ ．