Question

已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线y²=16x的焦点P为其一个焦点，以双曲线的焦点Q为顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点A（-1，0），B（1，0），且C、D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M是线段CD上的动点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件知P（4，0），点Q（5，0），设椭圆的标准方程为，且a=5，c=4，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设M（x，y），线段CD方程为，即，由点M是线段CD上，知，由此能求出的取值范围．
解答：解：（1）由已知得点P为（4，0），点Q为（5，0）…（2分）
∴可设椭圆的标准方程为，且a=5，c=4…（3分）
∴b²=25-16=9，故椭圆的标准方程为．…（5分）
（2）设M（x，y），线段CD方程为，即…（7分）
∵点M是线段CD上，∴
又，
∴，…（10分）
将代入得：
∴…（12分）
∵0≤x≤5，
∴的最大值为24，的最小值为．
∴的取值范围是．…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程的求法和求的取值范围．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．