Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足，f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=ln x-f（x）f′（x），求g（x）的最大值及相应的x值；
（3）对任意正数x，恒有f（x）+f(

1

x

)≥（x+

1

x

）1n m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）借助二次函数的对称性，设出函数解析式，利用f（0）=0，即可得到函数解析式；
（2）求导函数，确定函数的单调性，即可求最值；
（3）对任意正数x，恒有f（x）+f(

1

x

)≥（x+

1

x

）1nm，等价于对任意正数x，恒有（x2+

1

x2

）-（x+

1

x

）≥（x+

1

x

）1nm，换元，利用函数的单调性，即可得到结论．

解答：解：（1）由二次函数图象的对称性，可设f（x）=a（x-

1

2

）²-

1

4

，
又f（0）=0，∴a=1
∴f（x）=x²-x；
（2）g（x）=ln x-f（x）f′（x）=lnx-（x²-x）（2x-1），
∴g′（x）=

1

x

-6x²+6x-1=（1-x）（6x²+1）（x＞0）
∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数g（x）取得最大值为0；
（3）对任意正数x，恒有f（x）+f(

1

x

)≥（x+

1

x

）1nm，等价于对任意正数x，恒有（x2+

1

x2

）-（x+

1

x

）≥（x+

1

x

）1nm，
令t=x+

1

x

（t≥2），则x2+

1

x2

=t²-2
∴对任意正数x，恒有t²-2-t≥tlnm
∴lnm≤t-

2

t

-1
∵t≥2，∴t-

2

t

-1≥0
∴lnm≤0
∴0＜m≤1．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．