Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

；
（Ⅰ）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意：f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

．
∵a＞0，∴f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（4分）
（Ⅱ）由（1）可知：f′(x)=

x+a

x2

①若a≥-1，则x+a≥0，即f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，f（x）_min=f（1）=-a（6分）
②若a≤-e，则x+a≤0，即f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，f(x)min=f(e)=1-

a

e

（8分）
③若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，
当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数，
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1（11分）
综上可知：当a≥-1时，f（x）_min=-a；
当a≤-e时，f(x)min=1-

a

e

；
当-e＜a＜-1时，f（x）_min=ln（-a）+1（12分）