题目内容

已知双曲线C的方程为-=1(a＞0,b＞0)，离心率e=.

（1）求双曲线C的渐近线方程；

（2）若A、B分别是两渐近线上的点，AB是位于第一、四象限间的动弦，△AOB的面积为定值,且双曲线C过AB的一个三等分点P，试求双曲线C的方程.

解：（1）a2=a2+b2?

b2=a2b=a.?

∴双曲线的渐近线方程为?

.?

（2）令渐近线y=x的倾斜角为α，如下图：?

则tanα=.?

sin2α=2sinαcosα?

=?

=

=.?

可令A（2t1,3t1）,B(2t2,-3t2)|OA|=t1,|OB|=t2.?

∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin2α?

.?

又∵S△AOB?=,∴t1t2=.?

由=2P(，)，?

即P（,t1-2t2）.?

又由b2=a2知双曲线C:，即为x2-y2=a2.

∵P在双曲线C上.?

∴(t1-2t2)2=a2（t1+2t2）2-(t1-2t2)2=a28t1t2=a2.?

又∵t1t2=,∴a2=4,?

∴双曲线C的方程为

练习册系列答案
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已知双曲线C的方程为：
x2
9
-
y2
16
=1
（1）求双曲线C的离心率；
（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（-3，2
3
）的双曲线的方程．
已知双曲线C的方程为
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0），离心率e=
5
2
，顶点到渐近线的距离为
2
5
5
．求双曲线C的方程．
（2013•嘉定区一模）已知双曲线C的方程为x2-
y2
4
=1，点A（m，2m）和点B（n，-2n）（其中m和n均为正数）是双曲线C的两条渐近线上的两个动点，双曲线C上的点P满足
AP
=λ•
PB
（其中λ∈[
1
2
，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O为坐标原点）面积的取值范围．
已知双曲线C的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），过右焦点F作双曲线在一，三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线C的左右的交点分别为A，B
（1）求证：点P在直线x=
a2
c
上（C为半焦距）．
（2）求双曲线C的离心率e的取值范围．
（3）若|AP|=3|PB|，求离心率．
已知双曲线C的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，它的左、右焦点分别F1，F2，左右顶点为A1，A2，过焦点F2先做其渐近线的垂线，垂足为p，再作与x轴垂直的直线与曲线C交于点Q，R，若PF2，A1A2，QF1依次成等差数列，则离心率e=（　　）

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