Question

已知等差数列{a_n}满足a₁=8，a₅=0，数列{b_n}的前n项和为Sn=2n-1-

1

2

(n∈N*)．求：
（1）数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{8a_n+30}前几项和最大？并求其前n项和T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知结合等差数列的通项a₅=a₁+4d，可求公差d，进而可求d
由已知，利用b₁=s₁，n≥2时，b_n=s_n-s_n-1，可求
（2）由等差数列的性质可知，{8a_n+30}也为等差数列，令8a_n+30≥0，求出n的范围，然后即可求解和的最大值

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由a₅=a₁+4d，
即0=-8+4d
得d=-2，
∴a_n=-2n+10．
由数列{b_n}的前n项和为Sn=2n-1-

1

2

(n∈N*)可知
当n=1时，b1=S1=

1

2

，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=2n-2，该式对n=1也成立．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=-2n+10，{b_n}的通项公式为bn=2n-2．
（2）由（1）{a_n}等差数列且a_n=10-2n则由等差数列的性质可知，{8a_n+30}也为等差数列
令8a_n+30≥0，则n≤

55

8

，
即n≤6时，8a_n+30＞0，n＞7时，8a_n+30＜0
则{8a_n+30}前6项和最大，值为S₆=324

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及递推公式b₁=s₁，n≥2时，b_n=s_n-s_n-1在求解数列的通项公式中的应用，等差数列的性质等知识的综合应用是求解本题的关键