Question

已知函数f(x)=logm

x-4

x+4

(x＞4)，0＜m＜1．
（Ⅰ）判断f（x）在定义域上的单调性，并用定义法证明；
（Ⅱ）若存在β＞α＞4使得f（x）在[α，β]上的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（ I）f（x）是（4，+∞）上的单调减函数，利用增函数的定义进行证明．
（ II）由题意以及f（x）在（4，+∞）上是减函数知

f(β)=logm β-4 β+4 =logmm(β-1) f(α)=logm α-4 α+4 =logmm(α-1)

，即

mβ2+(3m-1)β-4(m-1)=0 mα2+(3m-1)α-4(m-1)=0

，即方程mx²+（3m-1）x-4（m-1）=0有两个大于4的不相等实根，再利用二次函数的性质求得m的范围．

解答：解：（ I）f（x）是（4，+∞）上的单调减函数，
下用定义法证明：任取4＜x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=logm

x1-4

x1+4

-logm

x2-4

x2+4

，
而

x1-4

x1+4

-

x2-4

x2+4

=

(x1-4)(x2+4)-(x1+4)(x2-4)

(x1+4)(x2+4)

=

8(x1-x2)

(x1+4)(x2+4)

，
∵4＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∴

x1-4

x1+4

-

x2-4

x2+4

＜0，即

x1-4

x1+4

＜

x2-4

x2+4

，又0＜m＜1，
∴logm

x1-4

x1+4

＞logm

x2-4

x2+4

，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，所以f（x）是（4，+∞）上的单调减函数．
（ II）若f（x）在[α，β]上的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，
由f（x）在（4，+∞）上是减函数知

f(β)=logm β-4 β+4 =logmm(β-1) f(α)=logm α-4 α+4 =logmm(α-1)

，
即

mβ2+(3m-1)β-4(m-1)=0 mα2+(3m-1)α-4(m-1)=0

，即方程mx²+（3m-1）x-4（m-1）=0有两个大于4的不相等实根，
所以，

0＜m＜1 △=25m2-22m+1＞0 - 3m-1 2m ＞4 f(4)=24m＞0

，解得0＜m＜

11-4 6

25

，即m的范围为（0，

11-4 6

25

）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．