Question

【题目】已知函数，且．

（1）求实数的值；

（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；

（3）求实数的取值范围，使得关于的方程分别为：

①有且仅有一个实数解；②有两个不同的实数解；③有三个不同的实数解．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）函数在区间上是单调递增函数，证明见解析；

（3）答案不唯一，见解析

【解析】

（1）将已知条件，解得，再结合是正数，可得；
（2）将（1）的结论代入得,根据函数单调性的定义，可设，且，通过作差化简整理，最后得到，说明函数在区间上是增函数；

（3）首先，方程有一个解，然后分和加以讨论：当且时，方程转化为，解得，解不等式得或，当时，则，解得，解不等式得；最后综合可得方程解集的情况．

（1）由，得，，∵，∴．

（2）由（1），，从而，只需研究在上的单调性．

当时，．

设，且，则

，

∵，∴，，，

∴，即．

∴函数在区间上是单调递增函数．

（3）原方程即为 ……①

恒为方程①的一个解．

若时方程①有解，则，解得，

由，得；

若且时方程①有解，则，解得，

由且，得或．

综上可得，当时，方程有且仅有一个解；

当时，方程有两个不同解；

当时，方程有三个不同解．